Μαθηματικά

H αρχή της περιστεροφωλιάς (Dirichlet)

· Αν ν+1 περιστέρια καθίσουν σε ν φωλιές, τότε σε μια τουλάχιστον φωλιά θα καθίσουν δύο τουλάχιστον περιστέρια

Παράδειγμα : Από ένα σύνολο 13 ατόμων, υπάρχουν δύο τουλάχιστον άτομα που έχουν γενέθλια τον ίδιο μήνα

Γενικότερη διατύπωση :

· Αν κν+1 περιστέρια καθίσουν σε ν φωλιές, όπου κ και ν δύο τυχαίοι φυσικοί αριθμοί, τότε σε κάποια φωλιά θα καθίσουν τουλάχιστον κ+1 περιστέρια

Παράδειγμα : Έχουμε 4 αυτοκίνητα και 21 άτομα ( 21=4·5+1), τότε οπωσδήποτε σε ένα τουλάχιστον από τα αυτοκίνητα αυτά θα επιβιβαστούν τουλάχιστον 5+1=6 άτομα

Σημείωση : Οι ασκήσεις πιθανώς να λύνονται και με τη μέθοδο της Απαγωγής σε Άτοπο

ΑΣΚΗΣΕΙΣ

1) Ανάμεσα σε 101 χρυσές λίρες η μία είναι κάλπικη. Οι 100 γνήσιες λίρες έχουν το ίδιο βάρος, όχι όμως και η κάλπικη. Με δύο ζυγίσεις να βρεθεί αν η κάλπικη λίρα είναι ελαφρότερη ή βαρύτερη από μια γνήσια.

2) Όλοι οι φυσικοί αριθμοί τοποθετούνται στον ακόλουθο πίνακα :

Α	Β	Γ	Δ	Ε	Ζ
1		2		3
	4		5		6
7		8		9
	10		11		12
13		14		15
	...		...		...

Σε ποια στήλη βρίσκεται ο αριθμός 300;

3) Έχουμε 3 αριθμούς α,β και γ για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις : αβγ<0, α-β>0 και

β-γ>0. Ποια είναι τα πρόσημα των αριθμών; (Απ. α>β>0 ή γ<β<α<0)

4) Υπάρχουν 2 είδη σφαιρών α και β , οι οποίες αν τοποθετηθούν σε ένα ειδικό δοχείο, εμφανίζουν τις εξής παράξενες ιδιότητες. Αν βρεθούν στο δοχείο τρεις σφαίρες τύπου α, αυτές ενσωματώνονται σε μια σφαίρα τύπου β, ενώ αν βρεθούν δύο σφαίρες τύπου β, τότε ενσωματώνονται σε μια σφαίρα τύπου α. Τοποθετούμε διαδοχικά στο δοχείο σφαίρες τύπου α και β και μετά από 4 τοποθετήσεις παρατηρούμε ότι υπάρχουν σε αυτό 2 σφαίρες, μια τύπου α και μια τύπου β. Τί τύπου ήταν η αρχική σφαίρα που ρίξαμε και τι τύπου οι σφαίρες που την ακολούθησαν; (Απ. αααα)

5) Στη μυθική χώρα της Ευρούπολης οι κάτοικοι έχουν νομίσματα αξίας 1€, 10€, 100€ και 1.000€ και μόνο αυτά. Μπορεί κάποιος να έχει ακριβώς μισό εκατομμύριο από αυτά τα νομίσματα με συνολική αξία ενός εκατομμυρίου; (Απ. όχι)

6) Η Α τάξη ενός λυκείου έχει 5 τμήματα που το καθένα έχει τουλάχιστον 20 μαθητές. Σε καθένα από τους μαθητές των τμημάτων αυτών δίνουμε από 10€. Συνολικά δώσαμε 1.090€. Να αποδείξετε ότι δύο τουλάχιστον από τα τμήματα αυτά έχουν τον ίδιο αριθμό μαθητών. ΘΑΛΗΣ 06

7) Ο Γεράσιμος αγόρασε ένα βιβλίο μαθηματικών που είχε 256 σελίδες. Η αδελφή του η Νίκη του έσκισε κατά λάθος 25 φύλλα, όχι κατ' ανάγκη συνεχόμενα. Να αποδείξετε ότι το άθροισμα των αριθμών με τους οποίους ήταν αριθμημένες αυτές οι 50 σελίδες δεν μπορεί να είναι 2004.

8) Να αποδείξετε ότι σε κάθε παρέα από 5 άτομα, υπάρχουν δύο τουλάχιστον που έχουν τον ίδιο αριθμό γνωστών.

9) Σε ένα τουρνουά μπάσκετ κάθε ομάδα θα παίξει ακριβώς μια φορά με κάθε άλλη. Να αποδείξετε ότι στο τέλος κάθε φάσης του τουρνουά θα υπάρχουν δύο τουλάχιστον ομάδες που θα έχουν δώσει τον ίδιο αριθμό παιχνιδιών.

10) Ανάμεσα σε ν+1 ακεραίους μπορούμε πάντα να βρούμε δύο τουλάχιστον, των οποίων η διαφορά να διαιρείται με τον ν

11)Στην Σλοβανδία το ΠΡΟΠΟ, έχει 19 αγώνες. Ένας περήφανος Σλοβανδός θέλει να έχει τουλάχιστον 7 σωστές προβλέψεις σε μια τουλάχιστον στήλη του δελτίου του. Ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός στηλών που πρέπει να συμπληρώσει; (Απ. 3)

12) Να αποδείξετε ότι ανάμεσα σε 7 διαφορετικούς μεταξύ τους φυσικούς οι οποίοι είναι τέλεια τετράγωνα, υπάρχουν δύο τουλάχιστον των οποίων η διαφορά διαιρείται με το 10

13) Να βρείτε την ώρα που θα δείξει το ρολόι :

· 29 ώρες αργότερα από την στιγμή που θα δείξει 11

· 100 ώρες αργότερα από τη στιγμή που θα δείξει 2

· 50 ώρες πριν δείξει 6

14) Από τους 250 μαθητές ενός σχολείου που έδωσαν εξετάσεις στα μαθηματικά, οι 180 πήραν βαθμό χαμηλότερο από άριστα, ενώ 210 μαθητές πέρασαν τις εξετάσεις. Πόσοι μαθητές πέρασαν τις εξετάσεις χωρίς να πάρουν άριστα; (Απ.140)

15) Από ένα ανθρακωρυχείο βγαίνουν λευκοί και μαύροι, όλοι μαυρισμένοι από την καρβουνόσκονη. Έτσι δεν μπορείς να ξεχωρίσεις κάποιον αν είναι λευκός ή μαύρος. Οι μαύροι λένε πάντα την αλήθεια και οι λευκοί λένε πάντα ψέματα. Ο επιστάτης την ώρα που περνούσαν από μπροστά του ρώτησε έναν : " Τι είσαι εσύ; Μαύρος ή Λευκός;". Ο εργάτης κάτι είπε, αλλά ο επιστάτης δεν άκουσε και ρώτησε τον επόμενο " Τι μου είπε ότι είναι;"

" Σου είπε ότι είναι Μαύρος" απάντησε εκείνος. Ο τρίτος εργάτης είπε στον επιστάτη

"Μην τους πιστεύεις, ψέματα λένε και οι δύο". Να βρείτε

· τι είπε ο πρώτος εργάτης ότι είναι

· τι ήταν ο καθένας από τους τρεις εργάτες

16) Ο Νίκος, ο Γιώργος και ο Γεράσιμος έλυσαν όλοι μαζί 100 ασκήσεις από ένα βιβλίο Άλγεβρας. Ο καθένας χωριστά έλυσε ακριβώς 60 ασκήσεις. Μια άσκηση θεωρείται δύσκολη αν λυθεί μόνο από ένα μαθητή, ενώ αντίστοιχα εύκολη αν λυθεί και από τους τρεις. Να αποδείξετε ότι οι δύσκολες ασκήσεις είναι περισσότερες από τις εύκολες κατά 20

17) Τέσσερις μαθητές ο Γιάννης, ο Δημήτρης, ο Κώστας και ο Νίκος, κατηγορούνται για μια αταξία , που την έκανε όμως μόνο ένας από αυτούς. Ας τους ακούσουμε να απολογούνται :

Γιάννης : ο Δημήτρης το έκανε

Δημήτρης : ο Νίκος το έκανε

Κώστας : Δεν το έκανα εγώ

Νίκος : ο Δημήτρης λέει ψέματα ότι το έκανα εγώ

Αν γνωρίζετε ότι μόνο μια από τις απολογίες αυτές είναι αληθινή, μπορείτε να ανακαλύψετε τον ένοχο;

18) Τα αγόρια ενός τμήματος αγόρασαν μια μέρα τοστ και τα κορίτσια τυρόπιτα. Την άλλη μέρα τα αγόρια αγόρασαν τυρόπιτα και τα κορίτσια τοστ. Την πρώτη μέρα όλα τα παιδιά μαζί πλήρωσαν 1 λεπτό περισσότερο από ότι τη δεύτερη μέρα. Αν η τυρόπιτα κοστίζει λιγότερο από το τοστ, τα αγόρια ή τα κορίτσια είναι περισσότερα και πόσο;

19) Σε Βαλκανική συνάντηση Νέων συμμετείχαν 199 από 9 διαφορετικές χώρες. Να αποδείξετε ότι μια τουλάχιστον χώρα είχε στην αποστολή της 12 τουλάχιστον παιδιά του ίδιου φύλλου Ε.Μ.Ε.

20) Παίρνουμε στην τύχη εννέα σημεία στο εσωτερικό ενός τετραγώνου με μήκος πλευράς 1. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τρίγωνο με εμβαδόν Ε